Калькулятор матриц онлайн

Определитель, обратная матрица, ранг, транспонирование, умножение, сложение и вычитание матриц до 5 × 5 — точно, обыкновенными дробями, с ходом решения.

Размер
Матрица A

Числа можно вводить дробями (3/4) и десятичными (0,5). Пустая клетка — ноль.

Матрица B
Определитель—
Ход решения

    Описание калькулятора

    Калькулятор матриц находит определитель, обратную матрицу, ранг и транспонированную матрицу, умножает, складывает и вычитает матрицы размером до 5 × 5. Все вычисления идут в точных дробях, поэтому обратная матрица получается обыкновенными дробями без ошибок округления.

    Он нужен студентам для задач по линейной алгебре и проверки контрольных, преподавателям — для подготовки примеров, инженерам и аналитикам — для небольших систем. Для определителя 2 × 2 и 3 × 3 выводится подробное решение, для остальных действий — ключевые шаги.

    Вместе с этим калькулятором часто считают решение уравнений, инженерный калькулятор и НОД и НОК.

    Что умеет

    • Определитель, обратная, ранг, транспонирование
    • Умножение A × B, сложение и вычитание
    • Размер до 5 × 5, ввод дробей 3/4 и десятичных 0,5
    • Точный ответ дробями или десятичными с 4 знаками
    • Ход решения: Саррюс, Гаусс — Жордан, пример элемента cᵢⱼ
    • Копирование матрицы с табуляцией для вставки в таблицу

    Как пользоваться

    1. Выберите действие: «Определитель», «Обратная», «Ранг», «Транспонирование», «A × B», «A + B» или «A − B».
    2. Задайте размер: для определителя и обратной — «Размер матрицы», для остальных — число строк и столбцов.
    3. Заполните клетки матрицы A (и B, если нужна); пустая клетка — ноль.
    4. Выберите «Вид ответа» — дроби или десятичные.
    5. Смотрите результат, матрицу-ответ и ход решения; кнопка «Скопировать ответ» копирует матрицу.

    Полезные советы

    • Обратная — только при det ≠ 0

      Если определитель равен нулю, матрица вырожденная и обратной у неё нет. Это частый признак опечатки в условии.

    • Порядок множителей важен

      A × B и B × A в общем случае различаются, а иногда одно из произведений вообще не определено: число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй.

    • Вводите дроби дробями

      Значение 1/3 лучше вводить как 1/3, а не 0,333: тогда определитель и обратная матрица получатся точными.

    • Проверка обратной матрицы

      A × A⁻¹ должно давать единичную матрицу. Калькулятор делает эту проверку сам и пишет результат в ходе решения.

    • Ранг и системы уравнений

      Если ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных, система не имеет единственного решения.

    Определитель матрицы

    Для матрицы 2 × 2 определитель равен a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁. Для 3 × 3 калькулятор расписывает правило Саррюса (треугольников): три произведения со знаком «+» и три со знаком «−». Для матрицы

    • 4 7 2
    • 3 6 1
    • 2 5 3

    получается det A = 72 + 14 + 30 − 24 − 20 − 63 = 9. Для матриц 4 × 4 и 5 × 5 используется метод Гаусса: матрица приводится к треугольному виду, определитель равен произведению диагональных элементов с учётом числа перестановок строк.

    Обратная матрица

    Обратная матрица существует только при det A ≠ 0. Калькулятор находит её методом Гаусса — Жордана в точных дробях, без округления. Для матрицы из примера A⁻¹ = 1/9 × (13 −11 −5; −7 8 2; 3 −6 3), то есть в первой строке 13/9, −11/9, −5/9. Если все элементы имеют общий знаменатель, ответ показывается ещё и в виде «1/9 × целочисленная матрица». Правильность проверяется умножением: A × A⁻¹ должно давать единичную матрицу.

    Умножение, сложение, ранг

    • Умножать A на B можно, если число столбцов A равно числу строк B. Элемент cᵢⱼ — сумма произведений i-й строки A на j-й столбец B. Матрица 3 × 3 из примера, умноженная на B = (1 2; 0 1; 4 0), даёт C = (12 15; 7 12; 14 9): c₁₁ = 4 × 1 + 7 × 0 + 2 × 4 = 12.
    • Складывать и вычитать можно только матрицы одного размера — поэлементно.
    • Ранг — число ненулевых строк ступенчатого вида. У матрицы (1 2 3 4; 2 4 6 8; 1 0 1 0) вторая строка пропорциональна первой, ранг равен 2.
    • Транспонирование меняет строки и столбцы местами: матрица 2 × 3 становится 3 × 2.

    Ввод чисел

    В клетки можно вводить целые числа, десятичные (0,5) и обыкновенные дроби (3/4); пустая клетка считается нулём. Ответ показывается обыкновенными дробями или десятичными с 4 знаками — расчёт в обоих случаях ведётся точно. Кнопка «Скопировать ответ» копирует матрицу построчно с табуляцией — её можно вставить в таблицу.

    Вопросы и ответы

    Как найти определитель матрицы 3 × 3?
    По правилу Саррюса: сумма трёх произведений по главной диагонали и параллельным ей минус три произведения по побочной. Для матрицы (4 7 2; 3 6 1; 2 5 3) получается 72 + 14 + 30 − 24 − 20 − 63 = 9.
    Как найти обратную матрицу?
    Сначала проверьте, что определитель не равен нулю. Затем методом Гаусса — Жордана приведите (A | E) к виду (E | A⁻¹) или используйте присоединённую матрицу: A⁻¹ = 1/det A × adj A.
    Как найти обратную матрицу 2 × 2?
    A⁻¹ = 1/det A × (d −b; −c a), где det A = ad − bc. Для матрицы (4 7; 2 6) определитель 10, обратная — (3/5 −7/10; −1/5 2/5).
    Какие матрицы можно перемножать?
    Только если число столбцов первой равно числу строк второй. Матрица 3 × 3, умноженная на 3 × 2, даёт матрицу 3 × 2.
    Что такое ранг матрицы?
    Число линейно независимых строк — столько ненулевых строк остаётся после приведения к ступенчатому виду. У матрицы, где одна строка равна удвоенной другой, ранг меньше числа строк.
    Почему обратной матрицы не существует?
    Потому что определитель равен нулю: строки или столбцы линейно зависимы, и уравнение A × X = E не имеет решения.
    Можно ли вводить десятичные дроби?
    Да, 0,5 или 2,25 переводятся в точные дроби 1/2 и 9/4. Ответ можно показать и десятичными — округление до 4 знаков только при выводе.

    Полезные калькуляторы по теме

    Ещё в разделе «Математика и учёба»

    Весь раздел →