Решение уравнений онлайн

Решение линейных и квадратных уравнений с ходом решения: дискриминант, корни в точном виде и десятичной дробью, комплексные корни, график параболы с корнями и вершиной.

Коэффициенты
График: парабола или прямая с отмеченными корнями
Корни уравнения—
Ход решения

    Описание калькулятора

    Калькулятор решает квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 через дискриминант и линейные уравнения ax + b = c с подробным ходом решения. Корни даются точно — обыкновенной дробью или с упрощённым корнем, например −1 ± √2, — и десятичными числами; при отрицательном дискриминанте выводятся комплексные корни.

    Он пригодится школьникам и студентам, чтобы проверить домашнее задание и разобраться в шагах, родителям — чтобы помочь с уроками, а также всем, кому нужно быстро найти корни или вершину параболы. Для квадратного уравнения строится график.

    Вместе с этим калькулятором часто считают калькулятор дробей, инженерный калькулятор и калькулятор пропорций.

    Что умеет

    • Квадратные уравнения: дискриминант, один, два или ноль корней
    • Комплексные корни при D < 0
    • Точный ответ дробью и с упрощённым корнем
    • Ход решения по шагам и проверка по теореме Виета
    • Вершина параболы и разложение на множители
    • График параболы или прямой с отмеченными корнями

    Как пользоваться

    1. Выберите вид уравнения: «Квадратное» или «Линейное».
    2. Введите коэффициенты a, b, c — целые, десятичные (2,5) или дроби (3/4); отрицательные — со знаком минус.
    3. Проверьте запись уравнения над полями — она формируется из введённых чисел.
    4. Смотрите корни в результате, ход решения по шагам, вершину параболы и график.

    Полезные советы

    • Сначала приведите уравнение

      Перенесите все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался ноль: x² = 5x − 6 превращается в x² − 5x + 6 = 0, где a = 1, b = −5, c = 6.

    • Нет слагаемого — коэффициент ноль

      В уравнении x² − 2 = 0 коэффициент b равен 0. Пустое поле b или c тоже считается нулём.

    • Знак коэффициента — вместе с числом

      В 2x² − 3x − 5 = 0 коэффициенты b = −3 и c = −5. Потерянный минус — самая частая ошибка при подстановке.

    • Проверяйте по Виета

      Сумма корней равна −b/a, произведение — c/a. Для x² − 5x + 6 = 0: 3 + 2 = 5, 3 × 2 = 6 — корни найдены верно.

    • Дробные коэффициенты — без округления

      Вводите 1/3 как дробь, а не 0,333: так ответ останется точным.

    Квадратное уравнение через дискриминант

    Уравнение ax² + bx + c = 0 решается через дискриминант D = b² − 4ac:

    • D > 0 — два корня: x₁,₂ = (−b ± √D) ÷ (2a);
    • D = 0 — один корень: x = −b ÷ (2a);
    • D < 0 — действительных корней нет, есть два комплексных: x = −b ÷ (2a) ± i·√(−D) ÷ (2a).

    Пример: 2x² − 3x − 5 = 0. D = (−3)² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49, √D = 7. Корни: x₁ = (3 + 7) ÷ 4 = 5/2, x₂ = (3 − 7) ÷ 4 = −1. Проверка по теореме Виета: x₁ + x₂ = −b/a = 3/2, x₁ × x₂ = c/a = −5/2.

    Точный ответ: дроби и корни

    Коэффициенты можно вводить целыми числами, десятичными дробями (0,5) и обыкновенными (3/4). Калькулятор переводит их в точные дроби, поэтому ответ не теряет точности: если корень из дискриминанта не извлекается нацело, он упрощается и остаётся в записи. Для x² + 2x − 1 = 0 дискриминант равен 8, √8 = 2√2, и ответ записывается как x = −1 ± √2, а рядом — десятичные значения 0,414214 и −2,414214.

    Для x² + 2x + 5 = 0 дискриминант −16: действительных корней нет, комплексные — x = −1 ± 2i.

    Линейное уравнение

    Уравнение ax + b = c решается в два шага: b переносится вправо с противоположным знаком, затем обе части делятся на a. Для 3x + 5 = 20 получаем 3x = 15 и x = 5. Если a = 0, уравнение либо верно при любом x (когда b = c), либо не имеет решений.

    График

    Для квадратного уравнения строится парабола y = ax² + bx + c: корни — точки пересечения с осью x, отдельно отмечена вершина (x₀; y₀), где x₀ = −b ÷ (2a). Если ветви направлены вверх и вершина выше оси, корней нет — это видно сразу. Для линейного уравнения показана прямая y = ax + b и уровень c: корень — абсцисса их пересечения.

    Вопросы и ответы

    Как решить квадратное уравнение через дискриминант?
    Найдите D = b² − 4ac. Если D > 0, корни x = (−b ± √D) ÷ (2a); если D = 0 — один корень −b ÷ (2a); если D < 0, действительных корней нет.
    Что делать, если дискриминант отрицательный?
    Действительных корней нет — парабола не пересекает ось x. Есть два комплексных корня: для x² + 2x + 5 = 0 это −1 ± 2i.
    Как записать ответ, если корень из дискриминанта не извлекается?
    Корень упрощают и оставляют в ответе: для x² + 2x − 1 = 0 дискриминант 8, √8 = 2√2, ответ x = −1 ± √2. Калькулятор показывает и точную запись, и десятичные значения.
    Как найти вершину параболы?
    x₀ = −b ÷ (2a), y₀ получают подстановкой x₀ в уравнение или по формуле −D ÷ (4a). Для 2x² − 3x − 5 вершина — (0,75; −6,125).
    Что такое теорема Виета?
    Для ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a. Её используют для проверки ответа и подбора целых корней.
    Как решить уравнение, если a = 0?
    Это уже не квадратное, а линейное уравнение bx + c = 0. Переключитесь на «Линейное» (запись ax + b = c): в поле a введите коэффициент при x, в поле b — свободный член, в поле c — 0. Например, 4x − 8 = 0 даёт x = 2.
    Когда у линейного уравнения бесконечно много решений?
    Если a = 0 и b = c, равенство верно при любом x. Если a = 0, а b ≠ c, решений нет.

    Полезные калькуляторы по теме

    Ещё в разделе «Математика и учёба»

    Весь раздел →