НОД и НОК онлайн

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное от двух до десяти чисел: алгоритм Евклида по шагам и разложение каждого числа на простые множители.

Числа
Разложение чисел на простые множители: степени, минимум — НОД, максимум — НОК
НОД—
НОК—
Решение

    Описание калькулятора

    Калькулятор находит наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) от двух до десяти целых чисел. Решение расписывается по шагам алгоритмом Евклида, каждое число раскладывается на простые множители, а таблица степеней показывает, какие множители входят в НОД и в НОК.

    НОД нужен, чтобы сократить дробь и разделить что-то на одинаковые части без остатка, НОК — чтобы привести дроби к общему знаменателю и понять, когда совпадут повторяющиеся события: графики, смены, обороты шестерён. Калькулятор пригодится школьникам, студентам и родителям для проверки домашних заданий.

    Вместе с этим калькулятором часто считают калькулятор пропорций, решение уравнений и системы счисления.

    Что умеет

    • НОД и НОК от 2 до 10 чисел
    • Алгоритм Евклида по шагам
    • Разложение каждого числа на простые множители
    • НОД и НОК через разложение, таблица степеней
    • Точный расчёт чисел до 40 цифр
    • Отрицательные числа и ноль учитываются по правилам

    Как пользоваться

    1. Введите числа в поля «Число 1», «Число 2»; кнопка «+ Добавить число» добавляет ещё поля, до десяти.
    2. Вводите целые числа без запятых и точек; знак минус не влияет на ответ.
    3. Смотрите НОД и НОК в результате, разложение каждого числа и решение по шагам.
    4. Сверьтесь с таблицей на схеме: синим — наименьшие степени простых (НОД), красным — наибольшие (НОК).

    Полезные советы

    • Сокращение дробей

      Чтобы сократить дробь, разделите числитель и знаменатель на их НОД: 84/126 при НОД 42 превращается в 2/3.

    • Общий знаменатель

      Наименьший общий знаменатель дробей — это НОК знаменателей. Для 1/48 и 1/180 он равен 720.

    • Проверка через произведение

      Для двух чисел НОД × НОК = a × b. Если равенство не выполняется, в расчёте ошибка.

    • Взаимно простые числа

      Если НОД равен 1, у чисел нет общих делителей, кроме единицы, а НОК равен их произведению: НОК(17, 31) = 527.

    • Когда совпадут события

      Автобусы ходят раз в 12 и раз в 18 минут и ушли вместе — снова встретятся через НОК(12, 18) = 36 минут.

    Алгоритм Евклида

    Наибольший общий делитель (НОД) — самое большое число, на которое делятся все данные числа без остатка. Алгоритм Евклида находит его делением с остатком: большее число делится на меньшее, затем делитель — на остаток, и так до нулевого остатка. Последний ненулевой остаток и есть НОД.

    Пример для 48 и 180: 180 = 48 × 3 + 36; 48 = 36 × 1 + 12; 36 = 12 × 3 + 0. НОД(48, 180) = 12. Для нескольких чисел НОД находят по очереди: НОД(84, 126, 210) = НОД(НОД(84, 126), 210) = НОД(42, 210) = 42.

    Наименьшее общее кратное

    НОК — самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из данных. Для двух чисел НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b): НОК(48, 180) = 48 × 180 ÷ 12 = 720. Отсюда полезное равенство: НОД × НОК = a × b, 12 × 720 = 8640 = 48 × 180. Для трёх и более чисел НОК тоже считается по цепочке: НОК(84, 126) = 252, НОК(252, 210) = 1260.

    Через разложение на простые множители

    Каждое число раскладывается на простые множители: 84 = 2² · 3 · 7, 126 = 2 · 3² · 7, 210 = 2 · 3 · 5 · 7. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: 2 · 3 · 7 = 42. НОК — всех встречающихся простых в наибольших степенях: 2² · 3² · 5 · 7 = 1260. Таблица на схеме показывает степень каждого простого числа, наименьшие выделены синим, наибольшие — красным.

    Большие числа и особые случаи

    • Числа до 40 цифр считаются точно, без округления. Разложение на множители показывается для чисел до 10¹⁸: 600 851 475 143 = 71 · 839 · 1471 · 6857.
    • Если НОД равен 1, числа взаимно простые, и их НОК равен произведению: НОК(17, 31) = 527.
    • Знак не важен: берутся модули чисел. НОД с нулём равен другому числу, а НОК, если среди чисел есть 0, принимается равным 0.

    Вопросы и ответы

    Как найти НОД двух чисел?
    Алгоритмом Евклида: делите большее число на меньшее, затем делитель на остаток, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток — НОД. Для 48 и 180 это 12.
    Как найти НОК двух чисел?
    Перемножьте числа и разделите на их НОД: НОК(48, 180) = 48 × 180 ÷ 12 = 720.
    Как найти НОД и НОК через разложение на простые множители?
    Разложите числа на простые множители. НОД — произведение общих множителей в наименьших степенях, НОК — всех множителей в наибольших степенях. Для 84, 126 и 210 это 42 и 1260.
    Как найти НОД трёх чисел?
    По очереди: сначала НОД первых двух, затем НОД результата и третьего числа. НОД(84, 126, 210) = НОД(42, 210) = 42.
    Чему равен НОД взаимно простых чисел?
    Единице. Например, НОД(17, 31) = 1, а их НОК — произведение 527.
    Чему равен НОД числа и нуля?
    Самому числу по модулю: НОД(6, 0) = 6, потому что ноль делится на любое число.
    Можно ли найти НОД очень больших чисел?
    Да, калькулятор считает точно числа до 40 цифр. Разложение на простые множители показывается для чисел до 10¹⁸.

    Полезные калькуляторы по теме

    Ещё в разделе «Математика и учёба»

    Весь раздел →